Základy digitální techniky

Vzpomeňme náš příklad, kdy vozidlo z URČITÝCH OKOLNOSTÍ ZASTAVÍ. Rozhodnutí „zastavit“ se všemi možnými kombinacemi znázorňuje tabulka 1. Do ní jsme příčiny zastavení neboli logické proměnné zapsali slovem. To je velmi nepohodlné a komplikuje to zápis . Skutečně, logické funkce zaznamenáváme formou rovnice, a proto je nezbytné označovat proměnné pomocí symbolů. Takže místo „chodec“ zapíšeme teba A, další logickou proměnnou „červená“ označíme jako B, „dopravní značku“ jako proměnou C. Často se setkáváme i s jinými symboly. V tabulce také nebudeme psát ANO, NE. Místo ANO zapíšeme 1, místo NE zapíšeme 0. Výsledek logické operace označíme Y. Tak bývá výrok označován nejčastěji. Obě tabulky nyní přepíšeme s použitím zmíněných symbolů.

Vědní obor zabývající se pravidli podle nichž se řeší situace podobné dvěma uvedeným, se nazývá binární logika. Nejznámějším badatelem v tomto oboru byl matematik Georgie Boole. Jeho jménem je označována soustava pravidel pro zápis a vyhodnocování logických vztahů. Nazývá se Booleova algebra a budeme ji používat.

Vrátíme se k našim příkladům a vyjádříme jejich pravidla písemně. První situace se pomocí Booleovy algebry zapíše: Y = A + B + C. Však pozor, tato rovnice nemá stejnou platnost, jakou známe z běžné matematiky. Jak tomu máme rozumět? Booleova algebra platí pouze pro dvojstavovou tj. binární logiku. Takže proměnná může mít pouze dva stavy, tj. 1 nebo 0. Rovněž i výsledek Y může mít rozhodnutí 1 nebo 0. Tím se zásadně liší od normální algebry.

Pohledem na pravou stranu rovnice zjišťujeme, že se jedná o součet. Říká se mu logický součet. Mezi logickými proměnnými je znaménko + (plus). Avšak toto znaménko se nečte ani neznamená +, případně a, nýbrž v tomto případě nebo. Rovnici proto čteme: Y = A nebo B nebo C. Rovnice představuje logickou funkci, kterou můžeme nazvat funkcí nebo. Představuje logický součet.

Z tabulky 1 nahoře zjišťujeme, že Y = 1 v těch případech, kdy alespoň jedna z proměnných byla rovna jedné. Pouze v jednom případě je Y = 0. Je to tehdy, když A = 0, B = 0, C = 0. Platí: 0 + 0 + 0 = 0. V našem případě to znamená: není –li „chodec“ nebo není „červená“ nebo není „značka“, rovná se rozhodnutí nezastavit. Ve všech ostatních případech je některá proměnná označena jedničkou. Pak je rozhodnutí kladné, tj. Y = 1.

Uvedeme si příklad z druhého řádku: není „chodec“ (A = 0) nebo není „červená“ (B = 0) nebo je značka (C = 1) rovná se rozhodnutí zastavit (Y = 1). Poslední řádek: „je chodec“ (A = 1), nebo je „červená“ (B = 1) nebo je „značka“ (C = 1), rovná se rozhodnutí zastavit (Y = 1). Tato logická operace se zapíše rovnicí 1 + 1 + 1 = 1. Je tu dobře vidět, že logický součet nemůže mít hodnotu větší než jedna. Výsledek operace je logickým součtem logických proměnných.

Všimněme si nyní druhého příkladu. Situaci řeší logická funkce Y = A . B . C. I u této funkce mohu logické proměnné nabývat pouze hodnot 0 a 1. Totéž se týká rozhodnutí Y. Pravá strana rovnice má mezi proměnnými tečku, což je obvykle znaménko pro násobeni. Ze školy víme, že v mnoha případech se tato tečka napíše a stejně je tomu i u logického součinu. Pak má rovnice Y = ABC. Obě rovnice jsou rovnocenné.

Logický součin však neznamená násobení, nýbrž představuje logickou funkci a (jako plus), někdy označovanou i jako funkci i. Rovnici pak čteme Y = A a B a C, případně Y = A i B i C. Nejlépe to opět objasní druhá tabulka nahoře, patřící druhému příkladu. Logické rozhodnutí Y = 1 platí v tom případě, že všechny proměnné mají hodnotu 1. Bude-li třeba jen jedna proměnná s hodnotou rovnu nule, pak platí rozhodnutí Y = 0.

První případ nalezneme v tabulce pouze jedenkrát. Platí, že 1.1.1=1. V uvedeném příkladu to znamená: je místo (A = 1) a je zvednutá závora (B = 1) a je přítomen hlídač (C = 1), rovná se rozhodnutí vjet na parkoviště (Y = 1). Tato logická funkce je zaznamenána na posledním řádku.

Na druhém řádku: není místo (A = 0) a není zvednutá závora (B = 0) a je přítomen hlídač (C = 1), rovná se rozhodnutí nejet na parkoviště (Y = 0).

Na třetím řádku: není místo (A = 0) a je zvednutá závora (B = 1) a není hlídač (C = 0), rovná se rozhodnutí nejet na parkoviště (Y = 0).

Logickou rovnicí zapíšeme druhý řádek takto: 0 . 0 . 1 = 0. Třetí řádek zapíšeme: 0 . 1 . 0 = 0.

Zabývali jsme se řádky pravdivostní tabulky. Možná, že někdo přemýšlí, proč dostala název pravdivostní. Tento název je odvozen z logiky. Všechny logické výroky mnohou totiž být buď pravdivé nebo nepravdivé. To znamená, že každému logickému výroku můžeme přiřadit dvě pravdivostní hodnoty: pravda nebo nepravda. ?Logické výroky jdou tedy dvoj-hodnotové. My jsme si zápis zjednodušili a pravdivý výrok zapisujeme jako log. 1,nepravdivý výrok jako log. 0.